Optimal Trading Strategy And Supplydemand Dynamics

O fornecimento de uma garantia no mercado é um objeto intertemporal, não estático, e sua dinâmica é crucial para determinar os participantes do mercado de negociação comportamento. Estudos anteriores sobre a estratégia de negociação ideal para executar uma determinada ordem centra-se principalmente nas propriedades estáticas do supplydemand. Neste trabalho, mostramos que a dinâmica da demanda de suprimentos é de importância crítica para a estratégia de execução ótima, especialmente quando os horários de negociação são escolhidos de forma endógena. Utilizando um mercado de livros de pedidos limitados, desenvolvemos uma estrutura simples para modelar a dinâmica da oferta e seu impacto no custo de execução. Mostramos que a estratégia de execução ótima envolve negócios discretos e contínuos, e não apenas negócios contínuos, como sugeriu o trabalho anterior. A economia de custos da estratégia ótima sobre a estratégia contínua simples pode ser substancial. Mostramos também que as previsões sobre o ótimo comportamento comercial podem ter implicações interessantes sobre o comportamento observado do volume, volatilidade e preços intradiários. Document Object Identifier (DOI): 10.3386w11444 Publicado em: Obizhaeva, Anna A. Wang, Jiang, 2013. Estratégia de negociação ideal e supplydemand dinâmica, Journal of Financial Markets, Elsevier, vol. 16 (1), páginas 1-32. Citação cortesia de Usuários que baixaram este documento também baixaram: Biais and WeillOptimal trading strategy and supplydemand dynamics Neste artigo, estudamos como a oferta intertemporal de um título afeta a estratégia de negociação. Desenvolvemos uma estrutura geral para um mercado de livro de ordem de limite para capturar a dinâmica de supplydemand. Mostramos que a estratégia ótima para executar uma ordem não depende das propriedades estáticas da oferta e da demanda, como o spread e a profundidade do mercado, depende de suas propriedades dinâmicas, como a resiliência: a velocidade na qual a oferta demanda e recupera seu estado estacionário depois de um comércio . Em geral, a estratégia ótima é bastante complexa, misturando negócios grandes e pequenos, e pode reduzir substancialmente o custo de execução. Os grandes negócios removem a liquidez existente para atrair nova liquidez, enquanto os pequenos negócios permitem ao comerciante absorver ainda mais qualquer fluxo de liquidez de entrada. Se você tiver problemas ao fazer o download de um arquivo, verifique se você tem o aplicativo adequado para visualizá-lo primeiro. Em caso de problemas adicionais, leia a página de ajuda IDEAS. Observe que esses arquivos não estão no site IDEAS. Por favor, seja paciente, pois os arquivos podem ser grandes. Como o acesso a este documento é restrito, você pode querer procurar uma versão diferente em Pesquisas relacionadas (mais adiante) ou procurar uma versão diferente do mesmo. Outras versões deste item: Encontrar documentos relacionados por classificação JEL: G00 - Economia Financeira - - Geral - - - Geral G11 - Economia Financeira - - Mercados Financeiros Gerais - - - Escolha de Carteira Decisões de Investimento G12 - Economia Financeira - - Geral Mercados Financeiros - - - Asset Pricing Volume de Negociação Bond Interest Rates Referências listadas em IDEAS Por favor, informe erros de citação ou referência para. ou. Se você for o autor registrado do trabalho citado, faça login no seu perfil do Serviço de Autor RePEc. Clique em citações e faça os ajustes apropriados. Dimitri Vayanos, 1999. Comércio estratégico e bem-estar em um mercado dinâmico, LSE Research Online Documentos sobre Economia 449, London School of Economics and Political Science, LSE Library. Ao solicitar uma correção, mencione, por favor, este item: RePEc: eee: finmar: v: 16: y: 2013: i: 1: p: 1-32. Veja informações gerais sobre como corrigir material no RePEc. Para questões técnicas sobre este item, ou para corrigir seus autores, título, resumo, informações bibliográficas ou download, entre em contato: (Shamier, Wendy) Se você é autor deste item e ainda não está registrado no RePEc, recomendamos que o faça aqui . Isso permite vincular seu perfil a este item. Ele também permite que você aceite citações em potencial para este item que estamos incertos sobre. Se as referências estiverem totalmente ausentes, você pode adicioná-las usando este formulário. Se as referências completas listarem um item que está presente no RePEc, mas o sistema não tiver vinculado a ele, você pode ajudar com este formulário. 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Estudos anteriores sobre a estratégia de negociação ideal para executar uma determinada ordem centra-se principalmente nas propriedades estáticas do supplydemand. Neste trabalho, mostramos que a dinâmica da demanda de suprimentos é de importância crítica para a estratégia de execução ótima, especialmente quando os horários de negociação são escolhidos de forma endógena. Utilizando um mercado de livros de pedidos limitados, desenvolvemos uma estrutura simples para modelar a dinâmica da oferta e seu impacto no custo de execução. Mostramos que a estratégia de execução ótima envolve negócios discretos e contínuos, e não apenas negócios contínuos, como sugeriu o trabalho anterior. A economia de custos da estratégia ótima sobre a estratégia contínua simples pode ser substancial. Mostramos também que as previsões sobre o ótimo comportamento comercial podem ter implicações interessantes sobre o comportamento observado do volume, volatilidade e preços intradiários. Publicado como Obizhaeva, Anna A. Wang, Jiang, 2013. Estratégia de negociação ideal e dinâmica de oferta e demanda, Journal of Financial Markets, Elsevier, vol. 16 (1), páginas 1-32. Trabalhos relacionados: Artigo da revista: Optimal trading strategy and supplydemand dynamics (2013) Este item pode estar disponível noutro lugar em EconPapers: Procure itens com o mesmo título. Referência de exportação: BibTeX RIS (EndNote, ProCite, RefMan) HTMLText Este documento de trabalho pode ser encomendado a partir de nber. orgpapersw11444 Mais artigos em NBER Working Papers do Bureau Nacional de Pesquisa Econômica, , MA 02138, EUA Informações de contato no EDIRC. Os dados da série mantidos por ().Optimal trading strategy and supplydemand dinâmica Anna A. Obizhaeva a, 1. Jiang Wang b, c, d ,. Uma Escola de Negócios Robert H. Smith, Universidade de Maryland, 4428 Van Munching Hall, Parque de faculdade, MD 20742, EUA b Sloan Escola de Gestão, MIT, 100 Main Street, Cambridge, MA 02142, EUA c CAFR, China d NBER, EUA Recebido em 28 de julho de 2012. Disponível neste site em 12 de setembro de 2012. Neste artigo, estudamos como a oferta intertemporal de um título afeta a estratégia de negociação. Desenvolvemos uma estrutura geral para um mercado de livro de ordem de limite para capturar a dinâmica de supplydemand. Mostramos que a estratégia ótima para executar uma ordem não depende das propriedades estáticas da oferta e da demanda, como o spread e a profundidade do mercado, depende de suas propriedades dinâmicas, como a resiliência: a velocidade na qual a oferta demanda e recupera seu estado estacionário depois de um comércio . Em geral, a estratégia ótima é bastante complexa, misturando negócios grandes e pequenos, e pode reduzir substancialmente o custo de execução. Os grandes negócios removem a liquidez existente para atrair nova liquidez, enquanto os pequenos negócios permitem ao comerciante absorver ainda mais qualquer fluxo de liquidez de entrada. Negociação de Liquidez Execução Ótima de Ordens Lista de Ordens Limitadas Classificação JEL 1 Introdução A oferta de títulos financeiros não é, em geral, perfeitamente elástica. 2 Qual é a estratégia de negociação ideal em um mercado com oferta limitada de oferta ou liquidez Como os diferentes aspectos da oferta podem afetar a estratégia ótima Quão significativa são as economias de custos da estratégia de negociação ideal Os comerciantes enfrentam essas questões cada vez que eles negociam. As respostas a estas perguntas são, portanto, essenciais para entendermos como os participantes no mercado se comportam, como é fornecida e consumida a liquidez, como ela afeta os preços de títulos e, mais geralmente, como os mercados de valores mobiliários funcionam. Abordamos esse problema concentrando-nos na estratégia ótima de um profissional que tem de executar uma ordem em um determinado período de tempo. 3 Esse problema também é referido como o problema de execução ideal. 4 Os trabalhos anteriores forneceram informações valiosas sobre como a liquidez afeta o comportamento comercial dos participantes no mercado (por exemplo, Bertsimas e Lo, 1998. Almgren e Chriss, 1999 e Huberman e Stanzl, 2005). Essa literatura tende a considerar a oferta como um objeto estático ao analisar seu efeito sobre estratégias de negociação ótimas. Em particular, descreve a demanda ou o fornecimento de um título enfrentado por um grande comércio (dependendo de seu signo), especificando uma função instantânea de impacto de preço (isto é, um cronograma de oferta de demanda insensível ao tempo). No entanto, a liquidez é dinâmica pela sua natureza. Nossa contribuição é mostrar que são as propriedades dinâmicas do supplydemand, como a evolução do tempo após os comércios, ao invés de suas propriedades estáticas, como spread e depth, que são centrais para o custo de negociação ea concepção de estratégia ótima. Propomos um quadro geral para modelar a dinâmica da oferta e da demanda. Consideramos um mercado de carteira de valores limitados, no qual a oferta de um título é representada pelas ordens de limite registradas na carteira e as negociações ocorrem quando as ordens de compra e venda coincidem. Nós descrevemos a forma do livro de ordem de limite e especialmente como ele evolui ao longo do tempo para capturar a natureza intertemporal da oferta e exigir que um grande comerciante enfrenta. Nós escolhemos focar no mercado de livro de ordem de limite meramente por conveniência. Nosso principal objetivo é demonstrar a importância da dinâmica da demanda de oferta na determinação da estratégia de negociação ideal, e nossas principais conclusões continuam sendo aplicáveis ​​a outras estruturas de mercado. Nosso modelo incorpora explicitamente três características básicas de liquidez documentadas empiricamente: spread de bidask, profundidade de mercado e resiliência. Os dois primeiros recursos bidask spread e profundidade de mercado capturar os aspectos estáticos de liquidez. Eles estão relacionados com a forma do livro de ordem de limite, que determina o quanto o preço atual se move em resposta a um comércio. Bidask spread e profundidade de mercado, portanto, são fundamentais para determinar o custo de transação que o comerciante incorre na execução de seus negócios instantaneamente. A terceira característica de resiliência reflete o aspecto dinâmico da liquidez. A resiliência está relacionada à forma como o futuro livro de ordem de limite evolui em resposta ao comércio atual. Assumimos que o impacto inicial do preço se dissipa gradualmente ao longo do tempo, à medida que novos provedores de liquidez passam para reabastecer o livro. Quanto mais longe as cotações atuais são de níveis de estado estacionário, os provedores de liquidez mais agressivos pós novas encomendas. Mostramos que a estratégia ótima depende crucialmente das propriedades dinâmicas do livro de ordens limite. A estratégia consiste em um comércio inicial grande, seguido por uma seqüência de pequenos negócios, e um comércio discreto final para terminar a ordem. A combinação de grandes e pequenos negócios para a estratégia de execução ótima contrasta com as estratégias simples de dividir uma ordem uniformemente em pequenos negócios, como sugerido em estudos anteriores (por exemplo, Bertsimas e Lo, 1998 e Almgren e Chriss, 1999). A intuição por trás do complexo padrão de negociação é simples. O grande comércio inicial destina-se a empurrar o livro de ordem limite longe de seu estado estacionário, a fim de atrair novos provedores de liquidez. O tamanho do comércio grande é escolhido otimamente para desenhar número suficiente de novas encomendas, sem incorrer em custos de transação muito altos. Os pequenos negócios subseqüentes, em seguida, pegar as ordens recebidas e manter o influxo a preços desejáveis. Um comércio final discreto termina qualquer pedido remanescente no final do horizonte de negociação quando o pedido de fornecimento futuro já não é motivo de preocupação. Surpreendentemente, a estratégia ótima e a economia de custo dependem principalmente das propriedades dinâmicas da oferta e não são muito sensíveis às suas propriedades estáticas descritas pela função de impacto instantâneo, que tem sido o foco principal em trabalhos anteriores. Em particular, a velocidade com que o livro de pedidos de limite se reconstrói depois de ser atingido por um comércio, isto é, a resiliência do livro ou a sua taxa de reabastecimento, desempenha um papel crítico na determinação da estratégia de execução óptima e do custo que economiza. Além disso, verificamos que as economias de custos resultantes da estratégia de execução ótima podem ser substanciais. Como ilustração, consideremos a execução de uma ordem do tamanho 20 vezes a profundidade de mercado dentro de um horizonte de um dia. Sob a formulação da função estática de demanda de suprimento em Bertsimas e Lo (1998) e Almgren e Chriss (1999). A estratégia proposta é distribuir a ordem uniformemente ao longo do tempo. No entanto, quando levamos em conta a dinâmica da oferta de demanda, em especial a metade do tempo para o livro de ordem-limite recuperar depois de ser atingido por negociações, o custo de execução da ordem sob a estratégia ideal é menor do que a estratégia par. Por exemplo, se a meia-vida para o livro para recuperar é 0,90 minutos, que é relativamente curto, a economia de custos é de 0,33. Torna-se 1,88 quando a meia-vida de recuperação é 5,40 minutos e 7,41 quando a meia-vida de recuperação é de 27,03 minutos. Claramente, as economias de custo aumentam e se tornam substanciais quando o tempo de recuperação de livros aumenta. Muitos autores estudaram o problema da execução ótima das ordens. Por exemplo, Bertsimas e Lo (1998) propõem uma função de impacto de preço linear e resolvem a estratégia de execução ideal para minimizar o custo esperado de executar uma determinada ordem. Almgren e Chriss, 1999 e Almgren e Chriss, 2000 incluem considerações de risco em um cenário semelhante. 5 O enquadramento utilizado nestes estudos baseia-se em funções de impacto estático de preços num conjunto de horários de negociação fixos. Fixar os tempos de negociação é claramente indesejável porque o timing dos comércios é uma variável de escolha importante e deve ser determinado de forma otimizada. Mais importante ainda, as funções de impacto de preço estático pré-especificadas não conseguem capturar a natureza intertemporal da oferta. Ignoram como o caminho dos ofícios influencia a evolução futura do livro. Por exemplo, Bertsimas e Lo (1998) assumem uma função estática de impacto de preço estático. Consequentemente, o impacto geral sobre o preço de uma sequência de transacções depende apenas da sua dimensão total e é independente da sua distribuição ao longo do tempo. Além disso, o custo de execução torna-se independente de estratégia quando são permitidas operações mais freqüentes. Almgren e Chriss, 1999 e Almgren e Chriss, 2000 e Huberman e Stanzl (2005) introduzem um efeito de preço temporário como uma modificação, que depende do ritmo das negociações. O impacto de preço temporário adiciona um elemento dinâmico à função de impacto de preço ao penalizar negócios rápidos. Esta abordagem, contudo, restringe a estratégia de execução às operações contínuas, o que, em geral, é subóptimo. O que a análise anterior não capta completamente é como a liquidez reabastece no mercado, assim como como interage com os comércios. Nosso framework descreve explicitamente esse processo modelando diretamente a dinâmica do livro em um mercado de livro de ordem de limite, o qual, como mostramos, é crítico na determinação da estratégia de execução ótima. 6 Além das evidências empíricas, o comportamento dinâmico do livro que tentamos captar também é consistente com os modelos de equilíbrio dos mercados de livros de ordem de limite. A idéia de que a liquidez seja consumida por um comércio e depois reabastecida à medida que os provedores de liquidez adicionais tentam se beneficiar está por trás da maioria desses modelos. Por exemplo, Foucault (1999). Foucault, Kadan e Kandel (2005). E Goettler, Parlor e Rajan (2005) constroem modelos teóricos de mercados de livros de ordem-limite, que exibem níveis de resiliência diferentes, mas finitos, em equilíbrio, dependendo das características dos participantes do mercado. 7 O nível de resiliência reflete a quantidade de liquidez oculta no mercado. O nosso enquadramento permite captar este aspecto dinâmico da procura de oferta de forma flexível e examinar a estratégia de execução óptima sob condições de mercado mais realistas. Nossa análise é equilíbrio parcial na natureza, levando a dinâmica do livro de ordem de limite como dado. Embora não tentemos fornecer uma justificação de equilíbrio para a dinâmica específica do livro de ordem de limite usada no trabalho, nossa estrutura permite uma dinâmica mais geral. Na pesquisa de acompanhamento, vários autores usaram esse quadro para incorporar um comportamento mais rico do livro. Por exemplo, Alfonsi et al. (2010) consideram formas gerais, mas contínuas do livro de ordens limite e Predoiu, Shaikhet e Shreve (2010) permitem ordens discretas e dinâmicas mais gerais. Endogenizar a dinâmica do livro de ordem de limite em um ajuste de equilíbrio completo é certamente desejável, mas desafiador. Modelos de equilíbrio existentes, como os mencionados acima, têm de limitar severamente o conjunto de estratégias de colocação de pedidos admissíveis. Por exemplo, Foucault, Kadan e Kandel (2005). Rou, 2008 e Rou, 2009 apenas permitem encomendas de tamanho fixo e Goettler, Parlor e Rajan (2005) se concentram em estratégias one-shot. Estas simplificações são úteis na obtenção de certas propriedades simples do livro, mas são bastante restritivas quando se analisa a estratégia de negociação ideal. Um modelo de equilíbrio mais geral e realista deve permitir estratégias gerais. Nesta perspectiva, a nossa análise, ou seja, a resolução da estratégia de execução óptima sob a dinâmica da procura e da oferta geral, é um passo fundamental nessa direcção. O resto do artigo está organizado da seguinte forma. Seção 2 indica o problema de execução ideal. A Seção 3 introduz uma estrutura de livro de ordem de limite. A seção 4 mostra que o cenário convencional em trabalhos anteriores pode ser visto como um caso especial de nossa estrutura, envolvendo suposições irrealistas e propriedades indesejáveis. A seção 5 fornece a solução para um problema no tempo discreto. A seção 6 fornece a solução para um problema no tempo contínuo. A Seção 7 analisa as propriedades e economias de custo de estratégias ótimas. A Seção 8 discute extensões. A Seção 9 conclui. Todas as provas são dadas no Apêndice. 2 Declaração do problema O problema que nos interessa é como um comerciante executa otimamente uma determinada ordem. Assumimos que o trader tem de comprar X 0 unidades de um título durante um período de tempo fixo. Suponha que o comerciante complete a ordem em comércios às vezes, onde e. Vamos denotar o tamanho do comércio para o comércio em t n. Então, temos uma estratégia para executar a ordem é dada pelo número de comércios, o conjunto de vezes para o comércio e tamanhos de comércio. Vamos denotar o conjunto dessas estratégias: Aqui, assumimos que o conjunto de estratégias consiste em estratégias de execução com um número finito de negócios em momentos discretos. Isso é feito apenas para facilitar a comparação com o trabalho anterior. Mais tarde, vamos expandir a estratégia definida para permitir um número incontável de comércios ao longo do tempo também (Seção 6). Vamos denotar o preço médio de execução para o comércio. O operador escolhe a sua estratégia de execução num determinado horizonte de negociação T para minimizar o custo total esperado da sua compra: Esta função objectiva implica que o operador neutro em termos de risco se preocupa apenas com o valor esperado mas não com a incerteza do custo total. Mais adiante, incorporaremos considerações de risco (na Seção 8). É importante reconhecer que o preço de execução para o comércio x n em geral dependerá não apenas de x n. O tamanho do comércio atual, mas também todos os negócios anteriores. Tal dependência reflete duas dimensões do impacto de preço da negociação. Primeiro, ele muda as garantias atuais supplydemand. Por exemplo, após uma compra de x unidades do título ao preço corrente de, a oferta remanescente do título geralmente diminui. Em segundo lugar, uma mudança na demanda atual de fornecimento pode afetar a demanda futura da oferta e, portanto, os custos para negócios futuros. Em outras palavras, o impacto do preço é determinado pela dinâmica total da oferta e demanda em resposta a um comércio. Para especificar e resolver o problema de execução otimizado, precisamos modelar adequadamente a dinâmica da demanda de suprimentos. 3 Limitar o livro de encomendas e dinâmicas de oferta e demanda A oferta real de um título e sua dinâmica dependem do processo de negociação real. De diferentes mercados, o processo de negociação varia significativamente, variando de um mercado especializado, um mercado de negociante para um mercado eletrônico centralizado com um livro de ordem de limite. Neste artigo, consideramos o mercado de livro de ordem de limite. No entanto, nossa análise é de caráter geral e esperamos que nossos resultados sejam relevantes para outras estruturas de mercado também. 3.1 Livro de Ordens Limitadas Uma ordem limitada é uma ordem para negociar um certo número de ações de um título a um determinado preço. Num mercado operado através de um livro de encomendas limitadas (LOB), os comerciantes apresentam a sua oferta de fornecimento sob a forma de ordens limitadas a um sistema de negociação electrónica. 8 Uma negociação ocorre quando uma ordem, digamos uma ordem de compra, entra no sistema ao preço de uma ordem oposta ao livro, neste caso uma ordem de venda. A coleção de todas as ordens limite postadas pode ser visto como a demanda total e oferta no mercado. Let Ser a densidade de ordens limite para vender ao preço P. E deixar ser a densidade de ordens limite para comprar ao preço P. O número de ordens de venda em um pequeno intervalo de preços é. Normalmente, temos onde estão os melhores preços de oferta e oferta, respectivamente. Definimos onde V é o preço de cotação intermediária e s é o spread de bidask. Então, e. Como estamos considerando a execução de uma grande ordem de compra, nós nos concentramos na metade superior do LOB e simplesmente deixamos cair o subíndice A. A fim modelar o custo de execução para uma ordem grande, nós precisamos de especificar o LOB inicial e como evolui após ter sido batido por uma série de comércios da compra. Deixar o LOB (a metade superior dele) no tempo t ser, onde F t denota o valor fundamental da segurança e Z t representa o conjunto de variáveis ​​de estado que podem afectar o LOB, tais como transacções anteriores. Consideramos aqui um modelo simples para o LOB que capta sua natureza dinâmica. Este modelo permite ilustrar a importância da dinâmica da demanda de suprimentos para analisar o problema de execução ótima. Discutiremos abaixo como estender este modelo para melhor ajustar a dinâmica empírica LOB (Seção 8). O valor fundamental F t segue um movimento browniano que reflete o fato de que, na ausência de quaisquer negociações, o preço de cotação intermediária pode mudar devido a notícias sobre o valor fundamental. Assim, V t F t na ausência de quaisquer negócios, eo LOB mantém a mesma forma, exceto que o ponto médio, V t. Está mudando com Ft. Para simplificar, assumimos que o único conjunto de variáveis ​​de estado relevantes Z t é o histórico de negócios anteriores, denotado por. No tempo 0, a cotação intermediária é e o LOB tem uma densidade de forma de bloco simples, onde é o preço de pedido inicial e é uma função de indicador: Em outras palavras, q 0 é uma função de passo de P com um salto de zero para Q ao preço de venda. O Painel A da Fig. 1 mostra a forma do livro no tempo 0. A Fig. 1. O livro de ordens limitadas e sua dinâmica. Esta figura ilustra como o lado de venda do livro de ordem-limite evolui ao longo do tempo em resposta a um comércio de compra. Antes do comércio no momento, o livro de ordem-limite está cheio no preço de venda, que é mostrado no primeiro painel da esquerda. O comércio de tamanho x 0 em t 0 come fora das ordens no livro com os preços mais baixos e empurra o preço pedir até, como mostrado no segundo painel. Durante os períodos seguintes, as novas encomendas chegarão ao preço de venda A t. Essas ordens enchem o livro e diminuem o preço de venda até que este preço converge para seu novo estado estacionário, como mostrado no último painel à direita. Para maior clareza, assumimos que não há choques fundamentais durante esse período. Agora, consideramos um comércio de compra de tamanho x 0 partes em t 0. O comércio vai comer fora todas as ordens de venda com preços de até, onde é dado por Esta fórmula, encontramos que o novo preço de venda é. O preço médio de execução para o comércio x 0 é linear no tamanho do comércio e é igual a. Assim, a forma de bloco do LOB é consistente com a função de impacto de preço linear assumida em trabalhos anteriores. Esta é também a principal razão pela qual adotamos esta especificação aqui. Logo após o comércio, o livro de ordem de limite é descrito como onde está o novo preço de venda. As encomendas a preços inferiores foram todas executadas. O livro é deixado com vender ordens limite a preços acima (incluindo). O Painel B da Fig. 1 traça o livro de ordem de limite logo após o comércio. 3.2 Limitar a dinâmica do livro de pedidos Em seguida, especificamos como o LOB evolui ao longo do tempo após ser atingido por um comércio. Isso equivale a descrever como novas ordens limite de venda chegam para preencher o livro. Primeiro, precisamos especificar o impacto do comércio sobre o preço de cotação intermediária. Geralmente, o preço do mid-quote será deslocado acima pelo comércio. Assumimos que a mudança no preço da cotação média é linear no tamanho do comércio total. Ou seja, onde e corresponde ao impacto permanente do preço do comércio x 0. Se o comércio inicial x 0 em t 0 não for seguido por outros negócios e se não houver choques nos fundamentos, então, à medida que o tempo t vai para o infinito, o livro de ordens de limite converge para seu novo estado estacionário: onde a nova cotação E pedir preço. Em seguida, precisamos especificar como o livro de ordem-limite converge para seu estado estacionário. Note que logo após o comércio, o preço de venda é, enquanto no estado estável é. A diferença entre os dois é. Assumimos que o livro de ordem-limite converge para seu estado estacionário exponencialmente, na ausência de novos negócios e mudanças na Ft fundamental. E o parâmetro corresponde à velocidade de convergência, que mede a resiliência do LOB. Se definimos Dt sendo o desvio do preço de venda atual A t de seu nível de estado estacionário, então as Eqs. (5) e (6) implicam que depois de um comércio de compra x 0. Os novos pedidos de limite de venda começarão a entrar no livro com o novo preço de venda A t à taxa de. Assim, quanto mais o preço de venda atual é de seu estado estável, mais agressivamente os provedores de liquidez intervêm e lançam novas encomendas para oferecer liquidez reabastecida. O Painel C para o Painel E na Fig. 1 ilustram a evolução temporal do LOB após um comércio de compra. Podemos facilmente estender a dinâmica LOB para permitir múltiplos comércios e choques para o valor fundamental. Seja n (t) o número de negócios durante o intervalo. Definir uma seqüência de negociação com n (t) comércios em momentos de tamanho. Seja X t a ordem restante a ser executada no instante t. Antes da negociação no momento t ocorrer. Temos e Se é o montante total de compra durante, então o meio-cotação V t em qualquer momento t é O preço de pedir a qualquer momento t é eo livro de ordem de limite é dado por (5). A descrição acima pode ser estendida para incluir ordens de venda, o que pode ocorrer entretanto deslocando a cotação média Vt. Mas se eles não são previsíveis, podemos simplesmente omiti-los, como eles não afetarão a nossa análise. Antes de prosseguir com a dinâmica do LOB e examinar suas implicações para a estratégia de execução, vários comentários estão em ordem. Primeiro, a característica-chave do LOB é sua resiliência finita, que é capturada pela taxa de atualização do livro. Isso é motivado por uma série de evidências empíricas, como as documentadas em Biais, Hillion e Spatt (1995). Hamao e Hasbrouck (1995). E Coppejans, Domowitz e Madhavan (2004). entre outros. Em segundo lugar, embora a dinâmica de LOB aqui especificada seja tomada como dada, sem justificação de equilíbrio adicional, seu comportamento qualitativo, ou seja, a resiliência finita, é consistente com os obtidos em modelos de equilíbrio simples de mercados LOB considerados por Foucault, Kadan e Kandel ) E Goettler, Parlou e Rajan (2005). Em terceiro lugar, os modelos de equilíbrio existentes são inadequados para analisar o problema da execução, uma vez que limitam severamente as estratégias admissíveis, restringindo o tamanho ea freqüência do comércio. Assim, a fim de desenvolver um modelo de equilíbrio completo para o problema de execução, primeiro precisamos conhecer sua solução sob dinâmicas de demanda geral de demanda e, em seguida, chegar à dinâmica de equilíbrio. Deste ponto de vista, o presente documento centra-se na primeira parte deste empreendimento. Em quarto lugar, a nossa configuração é muito flexível em permitir uma forma arbitrária do livro e rica dinâmica para a sua evolução do tempo em resposta a um conjunto arbitrário de comércios. Como o principal objetivo deste artigo é demonstrar a importância da dinâmica da demanda de oferta na determinação do comportamento comercial ideal, em vez de obter uma solução geral para o problema, reduzimos nossa análise a um caso específico do cenário geral. As conclusões qualitativas que obtemos do caso simples permanecem robustas quando as formas mais gerais do livro e sua dinâmica são permitidas, como pesquisas de acompanhamento demonstraram (por exemplo, Alfonsi et al., 2010). 3.3 Custo de execução Dada a dinâmica LOB, podemos descrever o custo total de uma estratégia de execução para uma dada ordem X 0. Vamos denotar o comércio no tempo t n. E denotam o preço de venda no momento t n anterior a este comércio. Como a evolução do preço de venda A t em (10) não é contínua, denotamos por A t o limite esquerdo de A t. , Isto é, o preço de venda antes da transacção no instante t. A mesma convenção é seguida para Vt também. O custo para um único comércio é então dado por Para o LOB em forma de bloco dado em (5). Temos e O custo total dos comércios de tamanho,, é. Assim, o problema de execução ótima (3) é reduzido para sob a dinâmica LOB dada em (9) e (10). 4 Modelos convencionais como um caso especial Os trabalhos anteriores sobre a estratégia de execução óptima usualmente usam um ajuste de tempo discreto com intervalos de tempo fixos (por exemplo, Bertsimas e Lo, 1998), Almgren e Chriss, 2000). Tal configuração, no entanto, evita a questão de como determinar os horários de negociação ideais. Nesta seção, mostramos que ela representa um caso especial de nossa estrutura com restrições específicas sobre a dinâmica LOB, que levam a limitações cruciais. 4.1 Configuração convencional Primeiro consideramos um simples ajuste de tempo discreto proposto por Bertsimas e Lo (1998). Que captura as características básicas dos modelos utilizados em trabalhos anteriores. Em tal cenário, o comerciante negocia em intervalos de tempo fixos igualmente espaçados, onde e, enquanto o horizonte de negociação T e o número de negócios N são dados. Cada comércio tem um impacto sobre o preço, o que afetará o custo total do comércio e todas as negociações futuras. A maioria dos modelos assume uma função de preço-impacto linear da seguinte forma: onde o subscrito n denota o n-ésimo comércio at, é o preço médio ao qual o comércio x n é executado com, é o coeficiente de impacto de preço, e u n é um i. i.d. Variável aleatória com uma média de zero e uma variância de. Essas premissas são razoáveis, dada a conclusão de Huberman e Stanzl (2004) de que, na ausência de quase arbitragem, as funções permanentes de impacto sobre os preços devem ser lineares. Na segunda equação, temos definido. O parâmetro captura o impacto permanente do preço de um negócio. O trader que deseja executar uma ordem de tamanho X 0 resolve o seguinte problema: onde é definido em (15) e X n é um número de ações deixadas para serem adquiridas no tempo t n (antes da negociação) com. Como mostrado em Bertsimas e Lo (1998). Dado que a função objetivo é quadrática em x n. É ideal para o comerciante para dividir sua ordem em pequenos negócios de tamanhos iguais e executá-los em intervalos regulares durante o período fixo de tempo: 4.2 O limite de tempo contínuo Embora o ajuste de tempo discreto com uma função de impacto de preço linear dá um simples E solução intuitiva, deixa uma pergunta-chave sem resposta, ou seja, o que determina o intervalo de tempo entre os comércios. Uma maneira intuitiva de resolver esta questão é tomar o limite de tempo contínuo da solução de tempo discreto (isto é, deixar N ir para o infinito). No entanto, como Huberman e Stanzl (2005) apontam, a solução para o modelo de tempo discreto (16) não tem um limite de tempo contínuo bem definido. Na verdade, como, o custo das negociações, conforme dito em (16), se aproxima do seguinte limite de: Este limite depende apenas da dimensão comercial total X 0 e não na própria estratégia de negociação propriamente dita. Assim, para um comerciante com risco neutro, o custo de execução com negociação contínua é um número fixo e qualquer estratégia contínua é tão boa quanto outra. Consequentemente, o modelo de tempo discreto não tem um limite de tempo contínuo bem comportado. A intuição é que um comerciante pode simplesmente caminhar até a curva de oferta, ea velocidade de sua negociação é irrelevante. Sem aumentar o custo, o comerciante pode optar por negociar intensamente no início e completar toda a ordem em um período arbitrariamente pequeno. Por exemplo, se o comerciante torna-se ligeiramente avessos ao risco, ele vai optar por terminar todos os comércios direito no início, independentemente do seu impacto preço. 11 Tal situação é claramente indesejável e economicamente irrazoável. 4.3 Um caso especial da nossa estrutura Podemos ver as limitações do modelo convencional considerando-o como um caso especial da nossa estrutura. Na verdade, podemos especificar os parâmetros no quadro LOB para que ele será equivalente à configuração convencional. Primeiro, definimos os horários de negociação em intervalos fixos:,. Em seguida, fazemos as seguintes suposições sobre a dinâmica de LOB como descrito em (5) e (9): onde a segunda equação simplesmente afirma que o coeficiente de impacto de preço na estrutura de LOB é ajustado para ser igual a sua contrapartida na configuração convencional. Estas restrições implicam a seguinte dinâmica para o LOB. Como resulta do ponto (10). Após o comércio x n at t n (), o preço de venda pula de nível para nível. Como a resiliência é infinita, no próximo período, o preço de venda chega até o novo nível de estado estacionário de (supondo que não há choques fundamentais de t n para). Assim, a dinâmica do preço de venda é equivalente à dinâmica de in (15). Para os parâmetros em (18). O custo para o comércio é dado em (13). Que se torna o mesmo que o custo de negociação no modelo convencional (16). Assim, o modelo convencional é um caso especial da estrutura LOB com os parâmetros em (18). O principal pressuposto restritivo que temos de fazer para obter a configuração convencional é. Esta suposição significa que o LOB converge sempre para o seu estado estacionário antes do próximo período de negociação. Isso não é crucial se o tempo entre os negócios é mantido fixo. Se o tempo entre os negócios é permitido para encolher, esta hipótese torna-se irrealista. É preciso tempo para as novas ordens de limite para entrar para encher o livro novamente. Na realidade, a forma do livro de ordem de limite após um comércio depende do fluxo de novas encomendas, bem como o tempo decorrido. À medida que o tempo entre trades encolhe para zero, a suposição de velocidade de recuperação infinita torna-se menos razoável e dá origem aos problemas no limite de tempo contínuo do modelo convencional. 4.4 Impacto temporário nos preços Este problema levou vários autores a modificar a configuração convencional. Ele e Mamaysky (2005). Por exemplo, formular diretamente o problema em tempo contínuo e impor custos de transação fixos para excluir quaisquer estratégias de negociação contínuas. Semelhante à função mais geral de impacto dos preços considerada por Almgren e Chriss, 1999 e Almgren e Chriss, 2000 e Huberman e Stanzl (2005) propõem um impacto temporário sobre o preço de uma determinada forma de penalizar a negociação contínua de alta intensidade. Ambas as modificações nos limitam a um subconjunto de estratégias viáveis, que é em geral sub-ótimo. Dada a sua proximidade com o nosso trabalho, agora discutimos brevemente a modificação com um impacto temporário sobre os preços. Almgren e Chriss, 1999 e Almgren e Chriss, 2000 incluem uma componente temporária na função de impacto de preço, que pode depender do intervalo de negociação. O impacto temporário do preço dá flexibilidade adicional ao lidar com o limite de tempo contínuo do problema. Em particular, especificam as seguintes dinâmicas para os preços de execução dos negócios: onde é o mesmo dado em (15). É o tempo entre os negócios e descreve um impacto temporário sobre o preço e reflete os desvios temporários de preço do equilíbrio causados ​​pela negociação. Com e, o impacto de preço temporário penaliza volume de negociação elevado por unidade de tempo,. Usando uma forma linear para, é fácil mostrar que, à medida que N vai para o infinito, o custo de execução esperado se aproxima de (por exemplo, Grinold e Kahn, 2000, Huberman e Stanzl, 2005). Claramente, com o impacto de preço temporário, a estratégia de execução ideal tem um limite de tempo contínuo. Na verdade, é muito semelhante à sua contraparte de tempo discreto: Esta estratégia é determinista ea intensidade de negociação, definida pelo limite de, é constante ao longo do tempo. 12 O impacto temporário dos preços reflecte um aspecto importante do mercado, nomeadamente a diferença entre a oferta e a oferta a curto ea longo prazo. Se um comerciante acelera seus negócios de compra, como ele pode fazer no limite de tempo contínuo, ele vai esgotar a oferta de curto prazo e aumentar o custo imediato para comércios adicionais. À medida que mais tempo é permitido entre os negócios, a oferta vai se recuperar gradualmente. No entanto, como uma modificação heurística, o impacto temporário sobre o preço não fornece uma descrição precisa e completa da dinâmica da demanda de suprimentos. Isto leva a várias desvantagens. Por exemplo, a função de impacto temporário de preços na forma considerada por Almgren e Chriss (2000) e Huberman e Stanzl (2005) exclui a possibilidade de negociações discretas. Isto não é apenas artificial, mas também indesejável. Como mostramos mais adiante, a estratégia de execução ótima geralmente envolve negociações discretas e contínuas. Além disso, a introdução do impacto temporário sobre os preços não capta toda a dinâmica da procura de fornecimento. Por exemplo, dois conjuntos de negócios próximos uns dos outros em tempo versus distantes entre si gerarão diferentes dinâmicas de oferta e demanda, enquanto em Huberman e Stanzl (2005) eles levarão à mesma dinâmica. Finalmente, simplesmente especificando uma forma particular para a função de impacto de preço temporário diz pouco sobre os fatores econômicos subjacentes que a determinam. 5 Solução de tempo discreto Agora retornamos ao nosso quadro geral e resolvemos a estratégia de execução ótima. Suponha que os prazos de negociação sejam fixados em, onde e. Consideramos as estratégias correspondentes dentro do conjunto de estratégias definido na Seção 2. Usando (3). (9). (10) e (14). O problema de execução ótima é reduzido para onde F t segue uma caminhada aleatória. Esse problema pode ser resolvido usando programação dinâmica. Proposição 1 A solução para o problema de execução ótimo (20) é com e. O custo esperado para as negociações futuras sob a estratégia ótima é determinado de acordo com a tabela. O quadro reporta os valores de negociações discretas óptimas x 0 e x T no início e no fim do horizonte de negociação ea intensidade de negócios contínuos entre uma ordem de Valores diferentes do parâmetro de resiliência LOB ou a meia-vida de uma perturbação LOB, que é definida como. O preço de venda inicial é de 100, a profundidade de mercado é de 5 000 unidades, o coeficiente de impacto (permanente) é definido eo horizonte de negociação é fixado em T 1 dia, que é de 6,5 horas (390 minutos). A Tabela 2 relata a melhoria relativa do custo esperado de execução líquida pela estratégia de execução ótima sobre a estratégia simples do cenário convencional. Let us first consider the extreme case in which the resilience of the LOB is very small, e. g. and the half-life for the LOB to rebuild itself after being hit by a trade is 693.15 days. In this case, even though the optimal execution strategy looks very different from the simple execution strategy, as shown in Fig. 4. the improvement in execution cost is minuscule. This is not surprising as we know the execution cost becomes strategy independent when . For a modest value of , e. g. with a half life of 135 minutes (2 hours and 15 minutes), the improvement in execution cost ranges from 4.32 for to 11.92 for . When becomes large and the LOB becomes very resilient, e. g. and the half-life of LOB deviation is 0.90 minute, the improvement in execution cost becomes small again, with a maximum of 0.33 when . This is again expected as we know that the simple strategy is close to the optimal strategy when (as in this limit, the cost becomes strategy independent). Table 2. Cost savings by the optimal execution strategy from the simple trading strategy. Relative improvement in expected net execution cost is reported for different values of LOB resilience coefficient and the permanent price-impact coefficient . The order size is set at 100,000, the market depth is set at q 5,000, and the horizon for execution is set at T 1 day (equivalent of 390 minutes). Fig. 4. Optimal strategy versus simple strategy from the conventional models. The figure plots the time paths of remaining order to be executed for the optimal strategy (solid line) and the simple strategy obtained from the conventional models (dashed line), respectively. The order size is set at , the initial ask price is set at 100, the market depth is set at q 5,000 units, the (permanent) price-impact coefficient is set at , and the trading horizon is set at T 1 day, which is assumed to be 6.5 hours (390 minutes). Panels A, B, and C plot the strategies for and 1,000, respectively. Table 2 also reveals an interesting result. The relative savings in execution cost by the optimal execution strategy is the highest when , i. e. when the permanent price impact is zero. Of course, the magnitude of net execution cost becomes very small as goes to zero. 13 In order to see the difference between the optimal strategy and the simple strategy obtained in conventional settings, we compare their profiles X t in Fig. 4. The solid line shows the optimal execution strategy of the LOB framework and the dashed line shows the execution strategy of the conventional setting. Obviously, the difference between the two strategies are more significant for smaller values of . 8 Extensions We have used a parsimonious LOB model to analyze the impact of supplydynamics on optimal execution strategy. Obviously, the simple characteristics of the model does not reflect the richness in the LOB dynamics observed in the market. The framework we developed, however, is quite flexible to allow for extensions in various directions. In this section, we briefly discuss some of them. 8.1 Time varying LOB resilience Our model can easily incorporate time variation in LOB resilience. It has been documented that trading volume, order flows, and transaction costs all exhibit U-shaped intraday patterns. These variables are high at the opening of the trading day, then fall to lower levels during the day and finally rise again towards the close of a trading day. This suggests that the liquidity in the market may well vary over a trading day. Monch (2004) has attempted to incorporate such a time-variation in the conventional models. We can easily allow for deterministic time variation in LOB dynamics. In particular, we can allow the resilience coefficient to be time dependent, for . The results in Proposition 1. Proposition 2 and Proposition 3 still hold if we replace by , by , and by . 8.2 Different shapes for LOB We have considered a simple shape for the LOB described by a step function with the constant density of limit orders placed at various price levels. As shown in Section 3. this form of the LOB is consistent with the static linear price-impact function widely used in the literature. Although Huberman and Stanzl (2004) have provided theoretical arguments in support of the linear price impact functions, the empirical literature has suggested that the shape of the LOB can be more complex (e. g. Hopman, 2007 ). Addressing this issue, we can allow more general shapes of the LOB in our framework. This will also make the LOB dynamics more convoluted. As a trade eats away the tip of the LOB, we have to specify how the LOB converges to its steady state. With a complicated shape for the LOB, this convergence process can take many forms. Modeling more complex shapes of the LOB involves assumptions about the flow of new orders at a range of prices. Recently, Alfonsi, Schied, and Schulz (2009) extended our analysis to LOB with a general density of placed limit orders. Remarkably, the authors find a close-form solution for a broad class of limit-order books and show that the suggested optimal strategies are qualitatively similar to those derived for a block-shaped LOB. Their findings thus confirm the robustness of our results. 8.3 Risk aversion We have considered the optimal execution problem for a risk-neutral trader. We can extend our framework to consider the optimal execution problem for a risk-averse trader as well. For tractability, we assume that this trade has a mean-variance objective function with a risk-aversion coefficient of a . The optimization problem (30) now becomes with (9). (28) and (29). At time T . the trader is forced to buy all of the remaining order X T . This leads to the following boundary condition: Since the only source of uncertainty in (32) is F t and only the trades executed in interval will be subject to uncertainty in F t . we can rewrite this formula in a more convenient form: Proposition 4 gives the solution to the problem for a risk-averse trader: Proposition 4 The optimal execution strategy for the optimization problem (33) is The value function is determined by where . The coefficients are given by It can be shown that as the risk aversion coefficient a goes to 0, the coefficients , , and converge to those in Proposition 2 that were obtained for a risk-neutral trader. The nature of the execution strategy that is optimal for a risk-averse trader remains qualitatively similar to the strategy that is optimal for a risk-neutral trader. A risk-averse trader will place discrete trades at the beginning and at the end of trading period and trade continuously in between. The initial and final discrete trades are, however, of different magnitude. The more risk averse the trader is, the faster he wants to execute his order to avoid future uncertainty and the more aggressive orders he submits in the beginning. The effect of traders risk aversion a on the optimal trading profile is shown in Fig. 5 . Fig. 5. Profiles of optimal strategies for different coefficients of risk aversion a . This figure shows the profiles of optimal execution policies X t for the traders with different coefficients of risk aversion a 0 (solid line), a 0.05 (dashed line), and a 0.5 (dashed-dotted line) and a 1 (dotted line), respectively. The variable X t indicates how much shares still has to be executed before trading at time t . The order size is set at , the market depth is set at q 5,000 units, the permanent price-impact coefficient is set at , the trading horizon is set at T 1, and the resilience coefficient is set at . 9 Conclusion In this paper, we examine how the limited elasticity of the supplydemand of a security affects trading behavior of market participants. Our main goal is to demonstrate the importance of supplydemand dynamics in determining optimal trading strategies. The execution of orders is usually not costless. The execution prices are different from pre-trade benchmarks, since implemented transactions consume liquidity and change the remaining supplydemand. The supplydemand schedule right after a transaction will be determined by its static properties. Furthermore, trades often trigger a complex evolution of supplydemand. Rather then being permanent, its initial changes may partially dissipate over time as liquidity providers step in and replenish liquidity. Thus, supplydemand represents a complex object in the marketplace that changes in response to executed trades. While designing trading strategies traders have to take into account a full dynamics of supplydemand since their transactions are often spread over time. In this paper, we focus on the optimal execution problem faced by a trader who wishes to execute a large order over a given period of time. We explicitly model supplydemand as a limit order book market. The shape of a limit-order book determines static properties of supplydemand such as bidask spread and price impact. The dynamics of a limit order book in response to trades determines its dynamic properties such as resilience. We are interested in how various aspects of liquidity influence trading strategies. We show that when trading times are chosen optimally, the resilience is the key factor in determining the optimal execution strategy. The strategy involves discrete trades as well as continuous trades, instead of merely continuous trades as in previous work that focuses only on price impact and spread. The intuition is that traders can use discrete orders to aggressively consume available liquidity and induce liquidity providers to step in and place new orders into the trading system, thus making the execution of future trades cheaper. The developed framework for supplydemand is based on the limit order book market for convenience. Our main conclusions remain applicable to any other market structures. The framework is fairly general to accommodate rich forms of supplydemand dynamics. It represents a convenient tool for those who wish to fine-tune their trading strategies to realistic dynamics of supplydemand in the marketplace. Appendix A A.1 Proof of Proposition 1 From (A.1). the dynamics of D t between trades will be